13.3. PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DE L'INTÉGRALE
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Preuve.
1. Soit f élément de CM([a, bj,JE). Considérons Un)nEN une suite d'éléments de
l'([a, b], JE) convergente pour la norme uniforme vers f. La suite des restrictions des applications fn au segment [a, c] (respectivement [c, b]) converge
pour la norme uniforme vers la restriction de f au segment [a, c] (respectivement [c, b]). D'après la relation de Chasles pour les applications en escalier,
proposition 13.7.
Vn EN, 1b fn(t)dt = 1c J n(t)dt + 1b fn(t)dt.
Les applications intégrales sur les segments [a, c], [c, b] et [a, b] étant continues, en passant à la limite, on obtient
1b J(t)dt = 1c J(t)dt + 1b J(t)dt.
2. Soit f élément de CM ([a, bj, JE). Considérons Un)nEN une suite d'éléments de
l'([a, b], JE) convergente pour la norme uniforme vers f. Sachant que,
lim lb fn(t)dt =lb f(t)dt
n-++oo a
a
et que l'application norme sur JE est continue, on a
Les inégalités
Vn EN, Vt E [a,b], lllfn(t)ll - llJ(t)lll:::; llfn(t) - f(t)ll:::; llfn - flloo,
permettent d'écrire que la suite (lifnll)nEN est une suite d'applications en
escalier définies sur [a, b] à valeurs positives convergentes uniformément vers
11!11, application continue par morceaux à valeurs réelles. Ainsi,
n~lfoo 1b llfn(t)ll dt= 1b llJ(t)ll dt.
En utilisant les deux convergences précédentes et la proposition 13.5, on
obtient l'inégalité désirée.
3. Pour cette dernière assertion, on suppose que les applications sont à valeurs
réelles. Considérons f une application continue par morceaux, positive. On
a
0:::; l1b f(x)dxl :::; 1b lf(x)ldx = 1b f(x)dx.