188
INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
Proposition 13.8 Sachant que,
1. Le sous-espace t:([a,b],JE) est dense dans CM([a,b],JE) pour la norme
11.1100,
2. l'intégrale I est une application linéaire continue de norme (b - a) à
valeurs dans JE, espace complet,
l'application linéaire I se prolonge de manière unique sur CM ([a, b], JE) en une
application linéaire continue de même norme. On notera
'If E CM([a,b),JE), I(f) = 1b f(t)dt.
Remarque 13.1
1. On dit qu'une application définie sur [a, b] à valeurs dans
JE est réglée si elle admet en tout point de l'intervalle [a, b[ une limite à droite
et en tout point de l'intervalle ]a, b]une limite à gauche. L'ensemble de ces
applications est un sous-espace vectoriel de B([a, b], JE), espace vectoriel des
applications bornées définies sur [a, b] et à valeurs dans JE.
2. Dans l'espace vectoriel normé B([a, b], JE) muni de la norme uniforme, l'adhérence
du sous-espace vectoriel des applications en escalier t:([a, b], JE) est le sousespace des applications réglées contenant strictement CM ([a, b], JE).
3. On peut donc définir de la même façon que précédemment l'intégrale d'une
application réglée.
Définition : On définit Jba f(t)dt par,
la J(t)dt = -1b J(t)dt.
13.3 Propriétés élémentaires de l'intégrale
Proposition 13.9 Propriétés de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux :
1. Relation de Chasles :
Ve E]a, b[, 'If E CM([a, b],JE), 1b J(t)dt = 1c J(t)dt + 1b J(t)dt,
2. 'If E CM([a,b],JE),
3. 'If E CM([a,b],IR),
4. 'If E C([a,b],JR),
III: f(x)dxll ~ J: llf(x)lldx,
J ~ o * I: J(t)dt ~ o.
f ~ 0 et f =f: 0 * J: f(x)dx >O.