13.2. CONSTRUCTION DE L'INTÉGRALE DE RIEMANN SUR UN SEGMENT
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Preuve. Soient f un élément de t'([a, b], JE) et a = (ai)o~i~n une subdivision
adaptée à f. Nous remarquons que 11111 est une fonction en escalier définie sur
[a, b] à valeurs réelles. La subdivision a est une subdivision adaptée à cette dernière
fonction.
De plus,
lb llf(x)lldx = f)ai - ai-1)llfill : : : : ; f)ai - ai-1)llflloo = (b - a)llflloo·
a
i=l
i=l
Corollaire 13.6 L'application I définie sur t'([a, b], JE) par
Vf E t'([a,b),JE), I(f) =lb f(x)dx,
est une application linéaire continue sur t'([a, b], JE) de norme (b - a).
Preuve. Grâce à l'inégalité obtenue dans la proposition 13.5, l'application I est
une application linéaire continue de norme au plus égale à (b - a). L'égalité est
obtenue pour toute fonction constante non nulle. La norme est donc (b - a). "9
Proposition 13. 7 Relation de Chasles :
VcE)a,b[,Vf Et'([a,b),JE), lb f(t)dt= le f(t)dt+ lb f(t)dt.
Preuve. Évidente en choisissant pour f une subdivision adaptée contenant le
point c.
"9
13.2.3 Intégrale d'une fonction continue par morceaux
sur un segment
Nous savons, d'après la proposition 13.2, que le sous-espace t'([a, b], JE) est
dense dans CM([a,b),JE) pour la norme 11-1100 • Nous avons défini dans t'([a,b),JE),
l'intégrale application linéaire continue de norme (b - a) dans la propositiondéfinition 13.3. L'espace vectoriel normé JE étant complet, d'après la proposition
12.15, page 182, elle se prolonge de manière unique sur CM([a,b],JE) en une application linéaire continue de même norme.