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INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
13.2 Construction de l'intégrale de Riemann
sur un segment
13.2.1 Intégrale d'une fonction en escalier sur un segment
Proposition-définition 13.3 Soit f une fonction en escalier définie sur [a, b]
à valeurs dans JE et u = (ai)o::;i::;n une subdivision adaptée à f. On note fi la
valeur constante de f sur l'intervalle ]ai-1,ai[. Alors la somme:
n
L(ai - ai-1)/i,
i=l
est indépendante du choix de u. Cette valeur est notée J: f(x)dx et on l'appelle
intégrale sur [a, b] de la fonction f.
13.2.2 Propriétés de l'intégrale d'une fonction en escalier
Proposition 13.4 L'application I définie sur l'([a, b], JE) par
Vf E l'((a,b],JE), I(f) = 1b f(x)dx,
est une application linéaire sur l'([a, b], JE) à valeurs dans JE.
Preuve. Soient f, g deux éléments de l'([a, b], JE) et deux réels a et (3. On considère
a= (ai)o::;i::;n une subdivision adaptée aux fonctions f et g. Remarquons que cette
subdivion est aussi adaptée à l'application en escalier (af + (3g).
a 1b f(x)dx + (31b g(x)dx
n
n
n
=a L(ai - ai-1)/i + f3 L(ai - ai-1)Yi = L(ai - ai-1)(afi + f3gi)
i=l
i=l
i=l
= 1b(af + (3g)(x)dx.
Proposition 13.5 Pour tout élément f de l'([a, b], JE), l'application llfll est un
élément de l'([a, b], JR.) et
l 1b f(x)dxll S 1b llf(x)lldx S (b - a)llflloo·