13.1. INTRODUCTION
13.1.3 (E([a, b], JE)) sous-espace vectoriel dense
de (CM([a, b], JE), 11 · lloo)
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Proposition 13.2 L'ensemble (&([a,b],IE)) est un sous-espace vectoriel dense
de l'espaceCM([a,b],IE),+,.) muni de la norme uniforme ll·lloo·
Preuve. Le travail consiste à montrer que toute application continue par morceaux
sur [a, b] est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier. Dans un premier
temps, considérons f une application définie et continue sur le segment [a, b] à
valeurs dans JE. Considérons pour tout entier n strictement positif, la fonction en
escalier f n définie par
La fonction f, continue sur le compact [a, b], est, d'après le théorème 5.14, page
56, uniformément continue. Soit c un réel strictement positif. Il existe un réel
strictement positif a tel que
V(x, y) E ([a, b)) 2 lx - YI Sa~ llf(x) - f(y)ll Sc.
Choisissons un entier no strictement positif vérifiant
b-a
no2:--.
a
Alors pour tout entier n ;:::: no,
Ainsi,
D'où,
b-a
-- ' ' On en déduit que la suite de fonctions en escalier Un)nEN* converge dans (CM([a, b], JE),+,.)
vers f pour la norme ll·lloo· Supposons maintenant que fcM soit une application
continue par morceaux. Il existe, d'après la proposition 13.1, une application continue f c et une application en escalier Je vérifiant
fcM =Je+ Je.
Considérons Un)nEN une suite de fonctions en escalier convergente uniformément
vers Je. Alors la suite de fonctions en escalier
converge uniformément vers f CM. Ce qui termine la preuve.
·.,