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INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
Définition : Soit F un ensemble quelconque et A une partie de F. On
appelle fonction indicatrice de A l'application notée :Il.A définie sur F à
valeurs dans {O, 1} par
{
:ll.A(x) = 1 si
:n.A(x) = 0 si
XE A,
xi A.
Preuve. Effectuons une démonstration par récurrence. Considérons pour tout entier naturel n, la proposition Pn suivante :
Pn : «Toute application continue par morceaux sur [a, b] à valeurs dans JE admettant au plus n points de discontinuité est somme d'une fonction continue et d'une
fonction en escalier, définies sur [a, b] et à valeurs dans JE. »
La proposition Po est trivialement vraie.
Soit n un entier strictement positif. Montrons que Pn-1 ::::} Pn·
Soit I une fonction continue par morceaux dont l'ensemble ][)J des points de discontinuité est composé de n éléments. Soit c l'un d'entre eux. Considérons ge
l'application en escalier définie sur (a; b] par
Vx E (a, b], ge(x) = l(c-):ll.[a,c[(x) + l(c+):ll.]c,bj(X) + l(c):Il.{c}•
où l(c_) (respectivement l(c+)) représente la limite à gauche (resp. à droite) de I
en c. On conviendra que la fonction :ll.[a,c[ (respectivement :ll.]c,bJ) est nulle si c =a
(resp. c = b). La fonction
l-ge
est une fonction continue par morceaux. Elle est continue en tout point de [a, b] \][)J.
Elle est également continue en c. Elle a donc, au plus, ( n- l) points de discontinuité.
Il existe ainsi une application le continue sur [a, b] et une application le en escalier
vérifiant :
l-ge=lc+le.
D'où,
l=lc+le+ge.
I est ainsi somme d'une fonction continue et d'une fonction en escalier. Ainsi,
Ceci conclut la preuve.