Chapitre 13
Intégration sur un segment
Dans tout le chapitre, on considère un segment [a, b] non réduit à un point et
un espace vectoriel normé complet noté (JE, li· ID.
13.1 Introduction
13.1.1 Le cadre
On se place dans
1. CM ([a, b], JE),+,.) l'espace vectoriel des applications continues par morceaux
sur [a, b] à valeurs dans JE. On munit cet espace de la norme uniforme définie
par
llJlloo = sup llJ(x)llE·
xE(a,b]
2. t'([a, b], JE) le sous-espace vectoriel de (CM ([a, b], JE),+,.) constitué des applications en escalier définies sur [a, b] et à valeurs dans E.
3. On utilisera également C([a, b], JE) le sous-espace vectoriel de (CM ([a, b], JE),+,.)
constitué des applications continues sur [a, b] à valeurs dans E.
On pourra retrouver les différentes définitions à la page 97.
13.1.2 (CM[a, b], JE) = (C[a, b], JE)+ (&[a, b], JE)
Proposition 13.1 Pour toute application JeM continue par morceaux sur
[a, b] à valeurs dans JE, il existe une application Je continue sur [a, b] et une
application Je en escalier sur [a, b] à valeurs dans JE, telles que :
JeM =Je+ Je.
Avant d'effectuer la preuve de cette proposition, définissons les fonctions indicatrices.