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ESPACES VECTORIELS NORMÉS
12.8 Prolongement d'une application linéaire
continue
Proposition 12.15 Soient E un espace vectoriel normé, E 1 un sous-espace
dense de E et F un espace de Banach. Une application linéaire continue définie
sur E 1 à valeurs dans F se prolonge de manière unique sur E en une application
linéaire continue de même norme.
Preuve. Soit f une application linéaire continue définie sur E 1 à valeurs dans F.
Notons li/li sa norme. f est une application li/li-lipschitzienne sur E1. D'après la
proposition 4.11, page 48, f est prolongeable de manière unique sur E par une
fonction li/li-lipschitzienne que l'on notera g. Montrons que 9 est linéaire. D'après
la preuve de la proposition 4.10, page 47, la fonction 9 est définie sur Epar
' a-+x
Soient>.,µ deux réels et x, y deux éléments de E. Considérons (xn)nEN et (Yn)nEN
deux suites d'éléments de E 1 convergentes respectivement vers x et y. Nous avons
9(x) = lim f(xn) et 9(y) = lim f(Yn)·
n-++oo
n-++oo
L'application f étant linéaire
>.9(x) + µg(y) =À lim f(xn) + µ lim f(Yn)
n-++oo
n-++oo
Sachant que f admet une limite en (>.x +µy) et que la suite (>.xn + µyn)nEN
converge vers ( >.x + µy), on a
g(>.x +µy) = lim f(ÀXn + µyn) = >.g(x) + µ9(y).
n-++oo
L'application 9 est ainsi une application linéaire continue de E vers F. Notons Si,
la sphère unité de E1 et S, la sphère unité de E. D'après la proposition 4.11, page
48, 9 est Il/ 11-lipshitzienne, donc
11911 ::; 11111.
Sachant que 81 est incluse dans 8 et que f et 9 coïncident sur 81,
11911 = sup ll9(x)I ~ sup ll9(x)I = sup 11/(x)I = li/li·
xES
xES1
xES1
D'où
llYll = 11/11.
Ceci termine la preuve.