12.7. FORMES LINÉAIRES
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{b) Soit x un élément de E. Montrer que ( x - Jc~l) Xn) nEJ\I est une suite
d'éléments de ker f convergente vers x.
(c) En déduire que ker f est dense dans E.
3. En déduire que f est continue si et seulement si ker f est fermé dans E.
Solution.
1. On a
ker f = 1- 1 {{0}).
d'après la proposition 3.8, page 37, ker f est une partie fermée de E.
2. (a) La forme linéaire f étant non continue, elle n'est pas bornée sur la
sphère unité. On peut donc construire une suite (xn)nEJ\I d'éléments de
la sphère vérifiant
(b)
VnEN,
(
f(x)
)
f X - f(xn) Xn = f(x) - f(x) =O.
VnEN,
Il ( x -1.J!lx ) - xll < JLœlli.
f (xn) n
-
2n
On en déduit que la suite ( x - /c~'?.) Xn) nEJ\I converge vers x.
(c) Tout élément de E est limite d'une suite d'éléments de ker f. Celui-ci
est dense dans E.
3. Si f est continue alors ker f est fermé d'après le 1.
Supposons ker f fermé et f non continue. Alors
ker f = E et ker f = ker f.
On en déduit que ker f = E et f = O. Ce qui est impossible car f est supposée
non continue. On en déduit que ker f fermé implique f continue.
Remarque 12.3 Les résultats de l'exercice 12.2, page 168, ainsi que les résultats
de cet exercice nous permettent de dire que, dans l'espace IR[X] muni de la norme
du sup sur [O, 1], le sous-espace
{P E IR[X)/P'(O) = O}
est dense dans IR[X].
Proposition-définition 12.14 L'ensemble des formes linéaires continues sur
E est un sous-espace vectoriel du dual E* de E. On l'appelle dual topologique
de E et on le note E'. C'est un espace de Banach puisque lR est complet.