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ESPACES VECTORIELS NORMÉS
2. On suppose f définie sur I intervalle réel non réduit à un point. Soit t 0 un
élément de I. On définit sur I \ {to}, l'application T par
T: I \ {to} - t JE
t
~ t!to (f(t) - f(to))
et pour tout entier i compris entre 1 et n, l'application Ti par
En remarquant que,
et
Ti: I\ {to} - t lR
t
f;(t)- f;(to)
t-to
ViE{l,2,···,n}, Ti=pioT
i=l
on en déduit que T admet une limite lorsque t tend vers to si et seulement
pour tout entier i compris entre 1 et n, Ti admet une limite lorsque t tend
vers t 0 . Dans ce cas, on obtient
lim T(t) = t Qi ( lim Ti(t)) .
t->t 0
t->t0
i=l
C'est-à-dire
n
f'(to) = L,Jf(to)ei.
i=l
12. 7 Formes linéaires
Définition : Soit E un espace vectoriel réel. On appelle forme linéaire
sur E, toute application linéaire définie sur E à valeurs dans R L'ensemble des formes linéaires de E forme un espace vectoriel appelé dual
de E et noté E*.
Exercice 12.6 Soit (E, li.ID un espace vectoriel normé réel et f une forme linéaire sur
(E, li.li).
1. On suppose f continue. Montrer que ker f est fermé.
2. On suppose f non continue.
(a) Montrer qu'il existe une suite (xn)(nEN) d'éléments de la sphère unité de
E vérifiant