12.6. ESPACES VECTORIELS NORMÉS DE DIMENSION FINIE
179
L'application linéaire f est donc continue, de norme inférieure ou égale à
n
L llf(ei)llF·
i=l
12.6.2 Continuité et dérivabilité des applications
Proposition 12.13 On considère (A, d) un espace métrique, (JE, li.li) un espace
vectoriel normé de dimension finie n et une base B = (eih:5i:5n de cet espace
vectoriel. Soit f une application définie sur A à valeurs dans E que l'on peut
écrire en faisant intervenir les fonctions coordonnées fi,
n
Vt E A, f(t) = L fi(t)ei.
i=l
Soit to, un élément de A.
1. La fonction f est continue en to, si et seulement si les fi le sont.
2. On suppose f définie sur I intervalle réel. La fonction f est dérivable en
to, si et seulement si les fi le sont et, dans ce cas, on a
n
J'(to) = Lf:(to)ei.
i=l
Preuve. Pour tout entier k compris entre 1 et n, les applications Pk et qk
Pk:
JE
----T
lR
x = L:~ 1 Xiei 1-----? Xk
et
qk: R ----T JE
X 1-----? Xek,
sont linéaires définies respectivement sur JE et lR espaces vectoriels de dimension
finie. Elles sont donc continues respectivement sur JE et R
1. En remarquant que,
ViE{l,2,· 0 0 ,n}, fi=piof
et
n
f = L:qi o fi
i=l
on en déduit que f est continue en t 0 de A si et seulement si pour tout entier
i compris entre 1 et n, fi est continue en to.