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ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Ce qui permet d'écrire
Ces inégalités sont donc des égalités et< if!(!), f >= ll'I!{f)ll2llfll2- Les deux
vecteurs f et if!(!) sont colinéaires et de même sens. L'égalité ll'I!{f)ll2 =
211/112 impose alors if!(!) = 2/. C'est-à-dire
\lx> 0, 2f(x) = F(x).
X
f est dérivable sur JR+* puisque quotient de deux fonctions dérivables. On
obtient
\lx> 0, 2xf(x) = F(x)
puis, en dérivant,
\lx> 0, 2xf'(x) = -f(x)
la fonction f est solution de l'équation différentielle linéaire du premier ordre
2xy' +y = 0, dont l'ensemble solution est la droite dirigée par la fonction
y(x) = ,}x de carré non intégrable sur JR+. On en déduit qu'il n'existe pas
d'élément f de E non nul vérifiant ll'I!{f)ll2 = 211/112·
12.6 Espaces vectoriels normés de dimension finie
12.6.1 Applications linéaires
Proposition 12.12 Toute application linéaire d'un espace vectoriel normé
réel E de dimension finie dans un espace vectoriel normé réel F de dimension quelconque est continue.
Preuve. On considère deux espaces vectoriels réels E et F, E étant de dimension
finie. On considère également f une application linéaire définie sur E à valeurs dans
F. Toutes les normes étant équivalentes sur E, la continuité de f est indépendante
de la norme choisie sur E. Prenons une base (ei, e2, ···en)· de E et la norme 11- 1100
définie par
où (x1,x2,··· ,xn) sont les coordonnées de x dans la base (ei,e2,··· ,en)· On
munit F d'une norme notée 11-llF· Nous avons
En particulier,
n
\lx ES, llf(x)llF:::; L llf(ei)llF·
i=l