12.5. APPLICATIONS LINÉAIRES CONTINUES
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Cette dernière inégalité est l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Donc
Vt E JR+,
On en déduit que G f est de carré intégrable
3. Il est évident que W est linéaire et que
r+oo
lo G}(x)dx ~ 2
r+oo
lo J2(x)dx.
Donc W est un endomorphisme continu de .C&(JR+) de norme inférieure ou
égale à 2.
4. On peut remarquer que fa est continue sur JR+ et f~ est équivalente en +oo
à ;k intégrable car 2a > 1. Donc fa est bien un élément de .Cb(JR+).
Vx E [O, 1],
1
1-a
w(f)(x) = 1 et 1 _a Ua(x) - afi(x)) = 1 _a= i.
Vx ~ 1, 'W(fa)(x) = ! (1 + ['1' _!_dt)=! (1 + - 1 (_!_ 1 -1))
X
11 ta
X
1 - a xa1 ( 1 a) 1
= -
- - - = -
Ua(x) - afi(x)).
1- a xa x
1- a
D'où le résultat.
5.
1
Va E]2, 1[,
r+oo 1
1
llfall~ ~ 11 x2a dx = 2a - 1 ·
Donc lima_,! llfall2 = +oo
2
6. Pour tout réel a EH, 1[,
Les termes de gauche et de droite tendent vers 2 lorsque a tend vers ! . On
en déduit
lim ll'W(fa)ll2 = 2
a-+! ll(fa)ll2
et avec le résultat de la question 3, on obtient 11' 11112 = 2.
7. Soit fun élément de .C&(JR+) non nul vérifiant
On obtient avec la même intégration par partie que celle utilisée dans la
question 3,
1
+00
p2(x)
1
+oo
w(f) 2 (x)dx = - lim - - + 2
w(f)(x)f(x)dx.
0
x--++oo X
0