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ESPACES VECTORIELS NORMÉS
On considère .Cb(JR+) l'espace préhilbertien des applications continues de carré
intégrable sur JR+, muni du produit scalaire
u. g) 1-+ r J(t)g(t)dt.
}"JR+
(On peut voir à ce sujet la proposition 23.11, page 472)
3. Montrer que l'application ' 11 définie par
est un endormorphisme continu de .Cb(JR+) de norme inférieure ou égale à 2.
4. On considère pour tout réel a strictement supérieur à ~. l'élément de .Cb(JR+)
défini par
]. [1,+oo[ (X)
fa(x) = 1[o 1[(x) +
.
'
xa
Montrer que pour tout réel a Ea, 1[, on a
1
'11(/a) = l _a Ua - afi) ·
5. Montrer que lima-.! llfall2 = +oo
2
6. En déduire que
et que 11' 11112 = 2.
7. Montrer qu'il n'existe pas d'élément f de .Cb(JR+) non nul vérifiant
Solution.
1. L'application F est dérivable sur JR+ d'application dérivée f. Elle est donc
continue sur JR+. On en déduit que l'application x 1-+ F~x) est continue sur
JR+* et que
f(O) = F'(O) = lim F(x) - F(O) = lim F(x).
x-+O
X
x-+O
X
2. Effectuons une intégration par partie. En remarquant que limx-.o F~)
2 = 0,
nous obtenons
1 t 1t F(x)2 F(t)2 1t
G1(x)dx =
- 2 -dx = - - - + 2 G1(x)f(x)dx
0
0
X
t
0