12.5. APPLICATIONS LINÉAIRES CONTINUES
175
Supposons d'abord que g soit une fonction en escalier sur [a, b]. On considère
alors la fonction en escalier h définie par
On a
avec llhll00 = 1. On déduit
Supposons maintenant que g soit une fonction continue par morceaux. Soit
ê un réel strictement positif. Il existe une application en escalier g" vérifiant
119 - 9clloo :::; ê. On considère la fonction en escalier h" = ~:Il.{g.#O}· On a
llhclloo = 1. D'autre part
l1b hg(t)g(t)dt - lb lg(t)ldtl
:::; l1b h"(t)[g(t) - g"(t)]dtl + l1b (lg"(t)l - lg(t)I) dtl :::; 2(b - a)ê.
Donc
On en déduit à l'aide de la première question que
Exercice 12.5
1. On considère une application f définie et continue sur JR+ à
valeurs réelles et F la primitive de f s'annulant en O. Vérifier que l'application
définie sur JR+* par
F(x)
X t-t - -
X
est continue sur JR+* et admet une limite en O.
On note G f le prolongement par continuité en 0 de cette application.
2. Montrer que si l'application f est de carré intégrable sur JR+, alors l'application
G f est également de carré intégrable sur JR+.