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ESPACES VECTORIELS NORMÉS
3. (il0 ,ile) forme une base de IR 2 • Donc ila s'écrit de manière unique sous la
forme ila = ailo + bile où le couple de réels (a, b) est solution de :
4.
{
a+ bcos(} =cos a
b sin (} = sin a
D'où le résultat.
{
a = sine cos °'.-sin°' cos e
{::=::}
s.me
b _ sma
- sine
1
sin((} - a) 1
1
llPeJJ.ca = sup
. (}
= - 1
. (Jj'
aEIR
sm
sm
Exercice 12.4 On considère CM([a, b], JR) l'espace vectoriel des applications continues par morceaux sur [a, b] à valeurs réelles muni de la norme uniforme. Pour tout
g E CM([a,b],JR), on note cpg la forme linéaire définie sur CM([a,b],IR) par
V/ E CM([a, b], IR), cpg(f) =lb f(t)g(t)dt.
1. Montrer que cpg est continue avec
2. Montrer que pour tout élément g de CM([a, b], JR),
(On pourra supposer, dans un premier temps, que g est une fonction en escalier.)
Solution.
1.
Donc cpg est continue et
2. Le résultat est évident si l'application g est nulle. On suppose désormais g
non identiquement nulle.