12.5. APPLICATIONS LINÉAIRES CONTINUES
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Cette suite réelle étant majorée à partir d'un certain rang paré, à la limite, nous
avons
llfn(x) - f(x)llF S é.
D'où
' xES
C'est-à-dire
' La suite Un)nEN est ainsi convergente vers f.
L'espace vectoriel normé (.Cc(E,F), li.li.cc) est complet.
12.5.3 Exemples de normes d'applications linéaires
continues
Exercice 12.3 On considère un espace vectoriel normé E et f un endomorphisme
continu de Ede spectre S non vide. On rappelle que le spectre d'un endomorphisme
est l'ensemble de ses valeurs propres. On note p = sup{ l>-1/ >. E S} le rayon spectral.
1. Montrer que
Il/ li.cc 2: P·
On se place désormais dans JR 2 • On note ile= (cosB,sinB) (BE JR).
2. On considère pour tout (;I E [-~, ~]\ {O}, Pela projection sur la droite engendrée
par Üo, et de direction la droite engendrée par ile. Quel est son rayon spectral?
3. Montrer que pour tout réel a,
( - ) _ sin(B - a)_
Pe u,, -
. 0 uo.
sm
4. On munit JR 2 de la norme euclidienne. En déduire que
1
llPe li.cc = 1 sin BI'
Solution.
1. Soient >. une valeur propre de f et u). un vecteur normé et vecteur propre
pour cette valeur propre. On a 11/(u>.)ll = l >-1. Donc
V>. ES, l >-1 S sup 11/(üll = li/li.cc·
llüll=l
On en déduit que p S li/li.cc·
2. Les valeurs propres de pe sont 0 et 1. Donc p = 1.