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ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Proposition 12.11 Si (F, ll·llF) est un espace de Banach, alors (.Cc(E, F),
li.li.cc) est un espace de Banach.
Preuve. Considérons Un)nEN une suite de Cauchy de (.Cc(E,F), 11·11.cc)· Nous
avons,
' La suite Un)nEN étant une suite de Cauchy de (.Cc(E, F), li.li.cc), on en déduit
que pour tout élément x de E, la suite Un(x))nEN est une suite de Cauchy dans
l'espace complet F, donc convergente. On peut ainsi définir sur E une application
à valeurs dans F, que l'on notera f, telle que
VxEE, f(x) = lim fn(x).
n-++oo
La première étape est de vérifier que f est une application linéaire continue.
'.,µ) E Il~.2, V(x,y) E IE 2 , )..f(x) + µf(y) = ).. lim fn(x) + µ lim fn(Y)
n-++oo
n-++oo
= lim fn(>.x +µy)= f(>.x +µy).
n-++oo
L'application f est ainsi linéaire. Montrons qu'elle est continue. Nous savons que
la suite Un)nEN est de Cauchy donc bornée. Considérons un réel M vérifiant
' Soit x un élément de la sphère unité. La norme étant une application continue,
lim llfn(x)llF = llJ(x)llF·
n-++oo
Or M étant un majorant de cette suite, on obtient à la limite
llf(x)llF:::; M.
L'application linéaire f est bornée sur la sphère unité donc continue. On peut
maintenant dire que f est un élément de .Cc(E, F). Montrons qu'elle est limite
dans (.Cc(E,F),11·11.cc) de la suite Un)nEN·
Soit e un réel strictement positif. Considérons un entier naturel n0 vérifiant
' Six est un élément de la sphère unité de E,
' Fixons maintenant un entier naturel n supérieur ou égal à no. Alors
lim llfn(x) - fp(x)llF = llfn(x) - f(x)llF·
p-++oo
.