12.5. APPLICATIONS LINÉAIRES CONTINUES
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Preuve.
On obtient
Cette norme est une norme d'algèbre.
Corollaire 12.10 On considère n un entier strictement positif OC représentant
le corps des nombres réels ou celui des nombres complexes et ocn muni d'une
norme notée 11·11· L'algèbre des matrices carrées d'ordre à coefficients réels,
notée Mn(IK) muni de la norme ll·llMn définie par
VA E Mn(IK),
est une algèbre de Banach.
llA.xll
llAllMn = sup -,,-,-,
xEJK:n\{O}
X
Preuve. L'espace vectoriel (Mn(IK), 11-llMn) est complet puisque de dimension
finie (n 2 ). Pour montrer que 11-llMn est une norme d'algèbre, il suffit de reprendre
une preuve similaire à celle de la proposition 12. 7.
-"
Remarque 12.2 Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On munit Mn(lR.) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels, de la norme infinie, notée ll·lloc,, c'est-à-dire pour tout élément A= (ai,Jh::;i::;n, on a
1$j:Sn
llAlloo = 1 ~~n lai,jl·
l~j~n
On considère la matrice
1 1
1
1 1
1
M=
1 1
1
Ainsi,
n n
n
M2=
n n
n
n n
n
En remarquant que llMll00 = 1 et que llM 2 1i 00 = n, on en déduit que ll·lloo n'est
pas une norme d'algèbre.