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ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Preuve. Il est évident que Cc(E, F) est un sous-espace vectoriel de C(E, F). Montrons que li.li.cc est une norme sur Cc(E, F). On note S la boule unité de E.
1. li/li.cc = 0 =? Vx E E, llf(x)llF :::; O.llxll =? f = O. La réciproque est
évidente
2. Soient fun élément de Cc(E, F) et>. un réel.
Vx ES, 11>.f(x)llF = l>.111/(x)llF:::; l>.111/11.cc·
Donc l >.111!11.cc est un majorant de l'ensemble {11>.f(x)llF/x ES}. Montrons
que c'est la borne supérieure. Sachant que
li/li.cc= sup llf(x)llF,
llxllE=l
il existe une suite (xn)nEN d'éléments de S vérifiant
lim llJ(xn) llF = li/li.cc·
n-++oo
On en déduit que
D'après la proposition 2.6, page 20
l >.111/11.cc = sup 11>.f(x)llF·
llxllE=l
D'où,
l>.lllJll.cc = 11>.Jll.cc
3. Soient f et g deux éléments de Cc(E, F).
Vx ES, Il(!+ g)(x)llF:::; 11/(x)llF + llg(x)llF:::; li/li.cc+ llgll.cc·
On en déduit
Il/+ gll.cc :::; Il/ li.cc + llgll.cc ·
li.li.cc est ainsi une norme sur Cc(E, F).
Corollaire 12.8 On a,
Vx E E, llf(x)llF:::; llfll.cc·llxllE·
Preuve. Évident
.ft
Corollaire 12.9 Dans l'espace vectoriel des endomorphismes continus de JE,
noté Cc(IE,IE), la norme subordonnée li.li.cc est une norme d'algèbre.