12.5. APPLICATIONS LINÉAIRES CONTINUES
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Preuve. On peut remarquer, d'après le théorème 12.5, que les trois bornes supérieures
sont finies. Notons B et S, respectivement la boule unité fermée et la sphère unité
de (E, ll·llE)·
S étant incluse dans B, on a
sup llf(x)llF:::; sup llf(x)llF·
llxllE=l
llxllE:51
D'autre part, si a est un élément non nul de B,
1
llf(a)llF = llallE·llf(-ll - 11 a)llF:::; 1. sup llf(x)llF·
a E
llx!IE=l
De plus, le réel 11/(0)llF étant nul,
sup llf(x)llF :::; sup llf(x)llF·
llx!IE:51
llxllE=l
On obtient ainsi l'égalité
sup llf(x)llF = sup llf(x)llF·
llxllE:9
llxllE=l
La sphére unité S étant incluse dans E \ 0, on a
sup llf(x)llF:::; sup llf(x)llF.
llxllE=l
x~O llxllE
D'autre part, si a est un élément non nul de E,
llf(a)llF Il ( 1 ) Il
llallE = f llallE a F:::; llx~~l llf(x)llF·
D'où
sup llf(x)llF :::; sup llf(x)llF·
#0 llxllE
llxllE=l
On obtient ainsi l'égalité
sup llf(x)llF = sup llf(x)llF·
#0 llxllE
llxllE=l
Ce qui termine la preuve.
12.5.2 L'espace vectoriel normé .Cc(E, F)
Proposition 12. 7 L'ensemble des applications linéaires continues de E vers
F est un espace vectoriel, noté .Cc(E, F). L'application 11·11.Cc définie sur
.Cc(E, F) par
V/ E .Cc(E, F), llfllcc = sup llf(x)llF,
llxllE=l
est une norme sur .Cc(E, F) appelée norme subordonnée aux normes ll·llE et
11.11p.