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ESPACES VECTORIELS NORMÉS
5 * 6. Évident.
6 * 7. Supposons f bornée sur la sphère unité de E, notée S. Considérons
un réel positif M vérifiant
Vy E 8, llf(y)llF ~M.
Soit x un élément de E non nul.
1
llf(x)llF = llxllEllJ( llxllE x)llF ~ MllxllE·
L'inégalité étant évidente pour le vecteur nul, on obtient,
Vx E E, llf(x)llF ~ MllxllE·
7:::} 1.
'r/(x,y) E E 2 , llf(x)- f(y)llF = llf(x -y)llF ~ Mllx -yllE·
Exercice 12.2 On considère IR[X], l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels
muni de la norme suivante
'r/P E IR[X], IJPll = sup IP(x)I.
xE(O,l]
Montrer que l'application cp qui, à un polynôme P, associe le réel P'(O) est linéaire
mais non continue.
Solution. Il est évident que l'application cp est linéaire. Considérons pour tout
entier naturel n, le polynôme Pn défini par
'r/x E IR, Pn(x) = (1- xt.
On remarque que pour tout naturel n, Pn appartient à la sphère unité. D'autre
part
'r/n EN, cp(Pn) = -n.
On en déduit que cp n'est pas bornée sur la sphère unité. D'après le théorème 12.5,
cp est une application linéaire non continue.
.fi
Proposition 12.6 Soit f élément de .C(E,F), continue sur E. Alors,