12.5. APPLICATIONS LINÉAIRES CONTINUES
ll9cp(n) - 9cp(p)ll = v'2 si cp(n) et cp(p) sont impairs,
ll9cp(n) - 9cp(p)ll = 1 si cp(n) et cp(p) sont de parité distincte,
ll9cp(n) - 9cp(p)ll = 0 si cp(n) et cp(p) sont pairs.
Il existe un naturel no, vérifiant
Vn 2: no, Vp 2: no, ll9cp(n) - 9cp(p) Il < 1.
Pour tout naturel n supérieur à no, cp(n) est pair, c'est-à-dire
Vn 2: no, 9cp(n) = O.
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On en déduit que la suite extraite (9cp(n))(nEN*) converge vers la fonction
nulle. Elle est ainsi la seule valeur d'adhérence de la suite (gn)(nEN*)·
En conclusion, la suite (gn)(nEN*) est bornée, n'admet qu'une seule valeur
d'adhérence et est divergente.
12.5 Applications linéaires continues
Dans cette partie, ( E, li· li E) et ( F, li· l i F) désignent deux espaces vectoriels
normés sur IR. On note C(E, F) l'ensemble des applications linéaires de E vers
F.
12.5.1 Caractérisation des applications linéaires continues
Théorème 12.5 Soit f E C(E, F). Les assertions suivantes sont équivalentes.
1. f est lipschitzienne sur E,
2. f est uniformément continue sur E,
3. f est continue sur E,
4. f est continue en 0,
5. f est bornée sur la boule unité fermée de E,
6. f est bornée sur la sphère unité de E,
7. 3M E JR+, Vx E E llf (x) liF ::; MllxllE.
Preuve.
1 => 2 => 3 => 4. Évident.
4 => 5. Supposons f continue en O. Il existe un réel strictement positif a
vérifiant
Vx E E, llxllE::; a=> llf(x)llF::; 1.
Pour tout élément y appartenant à la boule unité fermée de (E, ll·llE), on a,
1
1
1
llJ(y)llF =Il- f(ay)llF = -llf(ay)llF::; -.
a
a
a
Ainsi, f est bornée sur la boule unité fermée.