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ESPACES VECTORIELS NORMÉS
4. Vérifier que, pour tous entiers strictement positifs distincts n et p,
llfn - fpll = J2.
5. En déduire que la boule unité de l'espace vectoriel :F muni de la norme euclidienne n'est pas compacte.
6. Donner un exemple de suite bornée, divergente, ayant une seule valeur d'adhérence.
Solution.
1. L'application < ., . > est symétrique et linéaire à droite et positive. Considérons un élément f de :F non identiquement nul. Cette application f étant
2rr-périodique est non identiquement nulle sur l'intervalle [-rr,rr]. L'application j2 est continue, positive, non identiquement nulle sur l'intervalle [-rr, rr].
Donc
< f, f >= -
f 2 (x)dx >O.
1111"
7r -11"
On en déduit que < . , . > est un produit scalaire sur :F.
2. Pour tout entier strictement positif n,
11...
1 1 . . .
llfnll 2 =< fn, fn >= -
cos 2 (nx)dx = - 2
(1+cos(2nx))dx=1.
7r -11"
7r -w
3. Soient n et p deux entiers strictement positifs distincts. Les entiers (n - p)
et ( n + p) sont non nuls.
1 r
1 r
< fp,Jn >=:;;: 1-. . . cos(px)cos(nx)dx = 2 7r }_,.. [cos((p+n)x) +cos((p-n)x)]dx=O.
4.
llfv - fnll 2 = llfvll 2 + llJ nll 2 - 2 < fp, fn >= 2.
D'où le résultat.
5. Considérons (fcp(n))(nEN) une suite extraite de la suite Un)(nEN)· Pour tous
entiers naturels n et p distincts,
llfcp(p) - fcp(n)ll = J2.
Cette suite extraite n'est pas une suite de Cauchy. Elle est donc divergente.
On en déduit que la boule unité de :F n'est pas compacte.
6. Considérons la suite (gn)(nEN*) d'éléments de :F définie par
Vn EN*, 92n = 0 et 92n-1 = fn·
Cette suite est bornée. La suite extraite (92n)(nEN*) converge vers la fonction
nulle. Celle-ci est valeur d'adhérence de la suite (gn)(nEN*)· Montrons que
c'est la seule. Considérons (9cp(n))(nEN*) une suite extraite convergente donc
de Cauchy. Remarquons que, si n et p sont distincts,