12.4. ESPACES VECTORIELS NORMÉS DE DIMENSION FINIE
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Notons m ce réel. Il est strictement positif car x0 , appartenant à S, est un vecteur
non nul.
Pour tout élément x non nul de E, on peut écrire
X= llxlloo· ( llx~loo X) ·
( 11 A 100 x) étant un élément de S, on obtient,
D'où,
llxll ~ llxlloom.
1
llxlloo:::; -llxll. m
Cette inégalité étant évidente si x est le vecteur nul, ceci termine la preuve.
'9
Corollaire 12.3 Tout espace vectoriel réel normé, de dimension finie, est complet.
Preuve. Pour la preuve, il suffit d'utiliser la proposition 4.4, page 43 ainsi que la
proposition 12.1.
'9
Corollaire 12.4 Les parties compactes d'un espace vectoriel réel normé, de
dimension finie sont les parties fermées bornées.
Preuve. Pour la preuve, il suffit d'utiliser la proposition 5.7, page 54 ainsi que la
proposition 12.1.
'9
Exercice 12.1 On considère l'espace vectoriel :F des fonctions continues sur ~ et
2tr-périodiques.
1. Vérifier que l'application définie sur :F 2 à valeurs dans ~ par :
1 r
V(f,g) E :F 2 , < f,g >=;}_'fr f(x)g(x)dx
définit un produit scalaire sur :F. On munit désormais :F de ce produit scalaire.
On considère la suite Un)(nEN*) définie par
Vn EN*, Vx E ~. fn(x) = cos(nx).
2. Vérifier que tous les éléments de la suite appartiennent à la sphère unité donc à
la boule unité.
3. Montrer que, pour tous entiers strictement positifs distincts n et p, on a :
< fn,fp >=O.