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ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Remarque 12.1 Attention! Les normes d'algèbre ne sont pas conservées.
12.4 Espaces vectoriels normés de dimension finie
12.4.1 Normes équivalentes en dimension finie
Voici le très important théorème :
Théorème 12.2 Toutes les normes définies sur un même espace vectoriel réel
de dimension finie sont équivalentes.
Preuve. Considérons (ei, e2, ···en) une base de E et la norme 11· 1100 définie par
où (x1, x2, · · · , xn) sont les coordonnées de x dans la base (e1, e2, · · · , en)·
Pour prouver le théorème, nous allons montrer que toute norme sur E est équivalente
à la norme ll·lloo·
Considérons donc 11· 11 une norme sur E. Nous avons
Considérons le réel strictement positif k = L:~=l lie& Ainsi,
\lx E E, llxll ~ kllxlloo·
La norme 11· 11 est donc plus fine que la norme ll·lloo·
Remarquons que nous travaillons avec deux normes distinctes. Pour énoncer une
propriété topologique ou métrique (continuité, partie fermée, bornée, ... ) , il. est
donc important d'indiquer pour quelle norme nous avons une telle propriété.
Considérons S la sphère unité de E munie de la norme ll·lloo, c'est-à-dire
S = {x E E, llxlloo = 1}.
S est une partie fermée et bornée de (E, 11· 1100). Elle est, d'après la proposition 5.7,
page 54, une partie compacte de (E, 11· 1100). Considérons l'application c.p définie sur
S par
c.p : s ---+.IR.
X t--t llxll ·
Cette application est continue sur {S, l i · 1100) car lipschitzienne. En effet,
V(x,y) E 8 2 , lllxll - llYlll ~ llx -yll ~ kllx -ylloo·
D'après la proposition 5.12, page 55, la fonction c.p est bornée et atteint ses bornes.
Considérons x0 un élément de S vérifiant,
llxoll = inf llxll.
xES
ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Remarque 12.1 Attention! Les normes d'algèbre ne sont pas conservées.
12.4 Espaces vectoriels normés de dimension finie
12.4.1 Normes équivalentes en dimension finie
Voici le très important théorème :
Théorème 12.2 Toutes les normes définies sur un même espace vectoriel réel
de dimension finie sont équivalentes.
Preuve. Considérons (ei, e2, ···en) une base de E et la norme 11· 1100 définie par
où (x1, x2, · · · , xn) sont les coordonnées de x dans la base (e1, e2, · · · , en)·
Pour prouver le théorème, nous allons montrer que toute norme sur E est équivalente
à la norme ll·lloo·
Considérons donc 11· 11 une norme sur E. Nous avons
Considérons le réel strictement positif k = L:~=l lie& Ainsi,
\lx E E, llxll ~ kllxlloo·
La norme 11· 11 est donc plus fine que la norme ll·lloo·
Remarquons que nous travaillons avec deux normes distinctes. Pour énoncer une
propriété topologique ou métrique (continuité, partie fermée, bornée, ... ) , il. est
donc important d'indiquer pour quelle norme nous avons une telle propriété.
Considérons S la sphère unité de E munie de la norme ll·lloo, c'est-à-dire
S = {x E E, llxlloo = 1}.
S est une partie fermée et bornée de (E, 11· 1100). Elle est, d'après la proposition 5.7,
page 54, une partie compacte de (E, 11· 1100). Considérons l'application c.p définie sur
S par
c.p : s ---+.IR.
X t--t llxll ·
Cette application est continue sur {S, l i · 1100) car lipschitzienne. En effet,
V(x,y) E 8 2 , lllxll - llYlll ~ llx -yll ~ kllx -ylloo·
D'après la proposition 5.12, page 55, la fonction c.p est bornée et atteint ses bornes.
Considérons x0 un élément de S vérifiant,
llxoll = inf llxll.
xES