12.3. NORMES ÉQUIVALENTES
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Nous avons vu plus haut que la norme 11-11= n'était pas plus fine que la norme
li-Ili· Ceci nous permet d'introduire les normes équivalentes: nous dirons que deux
normes sont équivalentes si chacune d'elles est plus fine que l'autre.
12.3 Normes équivalentes
Définition : Deux normes 11-11 et 11-11' sur un même espace vectoriel E
sont dites équivalentes s'il existe deux réels strictement positifs k et k'
vérifiant
\:/x E E, llxll :::; kllxll'
\:/x E E, llxll':::; k'llxll·
Proposition 12.1 Considérons un espace vectoriel E et deux normes
équivalentes sur E notées 11-11 et 11-11' ·
1. Une suite d'éléments de E est une suite de Cauchy pour la norme 11-11 si
et seulement si elle est de Cauchy pour la norme 11-11' ·
2. Une suite d'éléments de E est une suite convergente pour la norme 11-11
si et seulement si elle est convergente pour la norme 11-11' · La limite est
commune pour les deux normes.
3. Une partie de E est fermée (respectivement ouverte) de E pour la norme
11-11 si et seulement si elle est fermée (respectivement ouverte) pour la
norme de 11-11' .
4. L'espace vectoriel normé (E, 11-11) est complet si et seulement si l'espace
vectoriel normé (E, 11-11' ) l'est aussi.
5. Une partie de E est une partie compacte de E pour la norme 11-11 si et
seulement si c'est une partie compacte de E pour la norme 11-11' ·
6. Une partie de E est une partie connexe de E pour la norme 11-11 si et
seulement si c'est une partie connexe de E pour la norme 11-11' ·
7. Une application définie sur une partie de E à valeurs dans un espace
métrique est continue pour la norme 11-11 si et seulement si elle est continue
pour la norme 11-11' ·
8. Une application définie sur un espace métrique à valeurs dans E est continue pour la norme 11-11 si et seulement si elle est continue pour la norme
11-11' .
La preuve assez simple est laissée au lecteur.