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ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Définition: Soit (JE,+, x, .) une algèbre. On dit qu'une application 11-11
est une norme d'algèbre si
1. Elle est une norme pour l'espace vectoriel (JE,+,.).
2. Elle vérifie
V(u,v) E JE 2 , llu x vll:::; llull.llvll.
On dit alors que (JE, +, x, . ) muni de 11-11 est une algèbre normée.
Définition :On considère une algèbre (JE,+, x, .) munie d'une norme
d'algèbre 11·11· Si (JE,+,.) muni de la norme 11-11 est un espace vectoriel
complet, on dit que (JE,+, x, .) munie de 11-11 est une algèbre de Banach.
12.2 Comparaisons de normes
Considérons un espace vectoriel E et deux normes sur E notées 11-11et11-11'· Pour
les deux espaces vectoriels normés (E, li-ID et (E, 11-11'), les propriétés métriques
peuvent être différentes. Donnons des exemples. Considérons C([O, 1],IR) le IRespace vectoriel des fonctions définies et continues sur le segment [O, 1]. Considérons
les normes 11-lloo et li-Ili définies par
VIE C([O, 1],IR), llllloo = sup ll(t)I,
tE(O;l]
VIE C([O, 1],IR), 111111 = 1
1 ll(t)ldt.
Considérons la suite (Pn)nEN d'éléments de C([O, 1], IR) définie par
Vn EN, Vt E [O, 1], Pn(t) = Vrï,.tn.
Ona
VnEN,
La suite (Pn)nEN est non bornée pour la norme 11-lloo mais convergente .vers l'application nulle pour la norme li-Ili· Nous pouvons remarquer que
VIE C([O, 1], IR), 111111 :::; llllloo·
Ceci permet de dire que, si une suite de C([O, 1], IR) est bornée (respectivement
convergente) pour la norme 11-11 00 , elle est bornée (respectivement convergente vers
la même limite) pour la norme li-Ili. On dit que la norme 11-111 est plus fine que la
norme 11-lloo·
Définition : Soient E un espace vectoriel, 11-11 et 11-11' deux normes sur
E. On dit que la norme 11-11 est plus fine que la norme 11-11' s'il existe un
réel strictement positif k vérifiant
Vx E E, llxll :::; kllxll'·