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INTÉGRATION SUR UN SEGMENT
2. (a) Soit [c, d] un segment inclus dans le segment [a, b] et n un entier strictement positif.
1b :Il.[c,dJ(t)cp(nt)dt = 1d cp(nt)dt.
En utilisant le changement de variable u t-t nt,
1
d
11~
1
cp(nt)dt = -
cp(u)du = - ('tfJ(nd) - 'tf;(nc)).
c
n ne
n
Donc,
D'où le résultat.
(b) L'application f étant en escalier, elle est combinaison linéaire de fonctions indicatrices de segment. La suite
(l f(t)l'(nt)dt) nEN
est une combinaison linéaire de suites convergentes vers O. Elle converge
donc vers O.
( c) Supposons f continue par morceaux. Soit c un réel strictement positif.
Il existe g une application en escalier, vérifiant
llg - J lloo ::; é,
où ll·lloo est la norme du sup sur le segment [a, b]. Alors, pour tout entier
naturel n,
11 b g(t)cp(nt)dt -lb f(t)cp(nt)dtl::; c(b- a) sup lcp(t)I.
a
a
tE(O,T)
Il existe un entier n0 , vérifiant
Vn 2: no, Il g(t)l'(nt)dtl ,; e.
On en déduit que,
Vn ~no, l1b f(t)cp(nt)dtl ::; c[l + (b - a) sup lcp(t)IJ.
a
tE(O,T)
Nous obtenons le résultat désiré.