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VITESSE ET ACCÉLÉRATION DE CONVERGENCE DE SUITES RÉELLES
En utilisant la proposition précédente, on construit avec la méthode de Richardson les suites ( Vn)nEN et ( Wn)nEN par
La convergence des suites ( Un)nEN, ( vn)nEN et ( wn)nEN vers 11" est géométrique
de rapports respectifs ~' 1
1
6 et 6
1
4 • N'oublions pas que les termes de la suite
(un)nEN se calculent à partir du système 11.8, page 153.
11.2.4 Méthode d'accélération d'Aitken
Dans toute cette section, on considère une suite ( un)nEN convergente vers un
réel l. On supposera non seulement que pour tout entier naturel n, on a Un =f. l
mais aussi Un+i =/:- Un. On suppose que la convergence est géométrique mais le
rapport .À est supposé inconnu. Cette situation se produit par exemple lorsque l
est un point fixe attractif d'une fonction f dont on ne connait pas la valeur exacte
de f'(l). On peut prendre l'exemple de la fonction cosinus admettant un seul point
fixe l. Il est facile de vérifier que -1 < - sinl
convergente vers l a une vitesse de convergence géométrique dont on ne connait
pas le rapport. La méthode d'accélération d'Aitken est alors adaptée. Elle s'appuie
sur celle de Richardson en utilisant la proposition suivante :
Proposition 11.5 La suite (.Xn)nEN* définie par
converge vers .À.
Preuve.
Vn 21,
Vn21,
,
_ Un+l -Un
lln -
Un - Un-1
On en déduit que la suite (.Xn)nEN* est convergente avec,
.À - 1
lim .Àn = - - 1 = .À.
n-++oo
1- À
Corollaire 11.6 On peut tronver un rang no tel que pour tout n 2 no, .Àn =/:- 1.
VITESSE ET ACCÉLÉRATION DE CONVERGENCE DE SUITES RÉELLES
En utilisant la proposition précédente, on construit avec la méthode de Richardson les suites ( Vn)nEN et ( Wn)nEN par
La convergence des suites ( Un)nEN, ( vn)nEN et ( wn)nEN vers 11" est géométrique
de rapports respectifs ~' 1
1
6 et 6
1
4 • N'oublions pas que les termes de la suite
(un)nEN se calculent à partir du système 11.8, page 153.
11.2.4 Méthode d'accélération d'Aitken
Dans toute cette section, on considère une suite ( un)nEN convergente vers un
réel l. On supposera non seulement que pour tout entier naturel n, on a Un =f. l
mais aussi Un+i =/:- Un. On suppose que la convergence est géométrique mais le
rapport .À est supposé inconnu. Cette situation se produit par exemple lorsque l
est un point fixe attractif d'une fonction f dont on ne connait pas la valeur exacte
de f'(l). On peut prendre l'exemple de la fonction cosinus admettant un seul point
fixe l. Il est facile de vérifier que -1 < - sinl
convergente vers l a une vitesse de convergence géométrique dont on ne connait
pas le rapport. La méthode d'accélération d'Aitken est alors adaptée. Elle s'appuie
sur celle de Richardson en utilisant la proposition suivante :
Proposition 11.5 La suite (.Xn)nEN* définie par
converge vers .À.
Preuve.
Vn 21,
Vn21,
,
_ Un+l -Un
lln -
Un - Un-1
On en déduit que la suite (.Xn)nEN* est convergente avec,
.À - 1
lim .Àn = - - 1 = .À.
n-++oo
1- À
Corollaire 11.6 On peut tronver un rang no tel que pour tout n 2 no, .Àn =/:- 1.