11.2. ACCÉLÉRATION DE LA CONVERGENCE D'UNE SUITE
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Preuve. Évident puisque la limite de la suite (>.n)neN• est différente de 1.
'9
Théorème 11.7 On considère la suite (vn)n~no définie à partir du rang no
par
Vn :2: no,
La suite ( Vn)n~no est une accélération de la suite ( un)neN. Cette méthode est
appelée méthode d'accélération d'Aitken.
Preuve. La suite ( vn)n~no est convergente avec,
D'autre part,
et
l - >..l
lim Vn = - - = l.
n-++oo
1- À
- l _ Un+l - ÀnUn - l _ (un+l - l) - Àn(Un - l)
Vn
-
---------~
1-Àn
1-Àn
Vn;::: no,
On en déduit que
1 .
Vn - l
Ü
1m - - = .
n-++oo Un - l
La convergence de la suite (vn)neN vers lest plus rapide que celle de (un)neN· '9