11.2. ACCÉLÉRATION DE LA CONVERGENCE D'UNE SUITE
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Proposition 11.4 On considère une suite (un)neN admettant un
développement asymptotique de la forme
où a, b etc sont des réels non nuls et 0 < !' YI < lµI < !Al < 1. Alors
1. La suite ( un)neN converge vers l avec une convergence géométrique de
rapport À. On note (vn)neN la suite accélérée de la suite (un)neN par la
méthode de Richardson.
2. La suite ( vn)neN admet un développement asymptotique de la forme
Vn = l + b'µn + C 1 "fn + o("fn)
où b' et d sont des réels non nuls. La convergence de la suite ( vn)neN
vers l est géométrique de rapport µ. On note ( wn)neN la suite accélérée
de la suite ( vn)neN par la méthode de Richardson.
3. La suite ( wn)nEN admet un développement asymptotique de la forme
Wn = l + C 11 "fn + C + o("!n)
où c" est un réel non nul. La convergence de la suite ( wn)neN vers l est
géométrique de rapport 'Y.
Preuve. Il suffit de réitérer les calculs de la preuve précédente.
Exercice 11.6
en O.
1. Donner un développement limité à l'ordre 7 de la fonction sinus
2. En déduire un développement asymptotique de
et appliquer à cette suite une double accélération.
Solution.
1. Voici le développement limité à l'ordre 7 de la fonction sinus en 0 :
x3
x5
x7
sinx = x - 31 + 5T - 71 + o(x 7 ).
2. Nous obtenons le développement asymptotique suivant :