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VITESSE ET ACCÉLÉRATION DE CONVERGENCE DE SUITES RÉELLES
Proposition 11.3 On considère une suite ( un)nEN admettant p.n
développement asymptotique de la forme
Un = l + a.Xn + bµn + o(µn),
où a et b sont des réels non nuls et 0 < lµI < l .XI < 1. Alors la suite
(vn)nEN, accélérée de la suite (un)nEN avec la méthode de Richardson, admet
un développement asymptotique de la forme
où b' est un réel non nul. La convergence de la suite ( vn)nEN vers l est
géométrique de rapport µ.
Preuve.
IM
_
Un+l - ÀUn _ l b(µ - .X) n ( n)
Vn E n1, Vn -
1 _ À
-
+ 1 _ À µ + 0 µ ·
On pose b' = bf~>.>.). Ce réel est non nul. D'après la proposition 11.2, la convergence
de la suite ( vn)nEN vers l est géométrique de rapport µ.
if.
Remarque 11.5 Pour utiliser la méthode de Richardson, il faut connaître la valeur de À et pouvoir l'utiliser dans les calculs. S'il en est de même du réel a, on
peut accélérer de façon plus simple la suite ( un)nEN en définissant la suite ( Vn)nEN
par,
La convergence de cette nouvelle suite vers l est géométrique de rapportµ.
11.2.3 Itération de la méthode de Richardson
On peut itérer la méthode d'accélération de Richardson. Voici un exemple de
double itération.