11.2. ACCÉLÉRATION DE LA CONVERGENCE D'UNE SUITE
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Preuve. La suite (vn)neN est combinaison linéaire de suites convergentes donc
convergente. Sa limite est
l -Àl
lim Vn = - 1 , = l.
n-++oo
- /\
D'autre part,
\ln E N,
_ l _ Un+i - ÀUn _ l _ ( Un+i - l) - À( Un - l)
Vn
-
1-À
-
1-À
et
VnEN,
On en déduit que
Vn - l = _1 _ ( Un+l - l _ À) .
Un-l
1-À
Un-l
1 .
Vn - l _ Q
lm - - - .
n-++oo Un - l
La convergence de la suite (vn)neN vers lest plus rapide que celle de (un)neN· ilt
Quelle est alors la vitesse de convergence de la suite accélérée? Étudions la
situation dans un cas particulier.
Proposition 11.2 On considère une suite ( Un)neN admettant un
développement asymptotique de la forme
où a est un réel non nul et 0 < IÀI < 1. Alors (un)neN converge vers l avec une
convergence géométrique de rapport À.
Preuve.
Un+l - l
aÀn+l
- ' - - - - - rv - - rv À.
Un - l
aÀn
D'où le résultat.
Remarque 11.4 Attention, la réciproque est fausse. On peut le vérifier par exemple
avec les suites (nÀn)nEN OU e: )neN• ·