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VITESSE ET ACCÉLÉRATION DE CONVERGENCE DE SUITES RÉELLES
2. f'(l)=O.
La vitesse de convergence de la suite ( un)nEN est rapide.
Si l'on suppose que l'application f est p fois dérivable en l (p;::: 2) avec
\fk E {1, 2,. .. , (p - 1)}, f(k) (l) = 0,
la formule de Taylor-Young à l'ordre p permet d'écrire :
. f(t) - l
f(P)(l)
hm
= - - .
t-+l (t - l)P
p!
Donc,
1 .
Un+i - l
f(P) (l)
1m
n-++oo (Un - l)P
p!
La vitesse de convergence de la suite (un)nEN vers l est d'ordre p.
11.2 Accélération de la convergence d'une suite
11.2.1 Définitions
Définition : Si ( un)nEN et ( vn)nEN sont deux suites convergentes vers
un même réel l, on dit que la convergence de la suite (vn)nEN est plus
élevée que celle de (un)nEN si Vn - l = o(un - l).
Il
Définition :Accélérer la convergence d'une suite consiste à construire
à partir de cette dernière une autre suite qui converge plus vite vers la
même limite.
Remarque 11.3 Nous proposons dans cette section deux méthodes d'accélération
de convergence de sùite à convergence géométrique :
1. La méthode de Richardson est préconisée lorsque l'on connait À, le rapport de
convergence géométrique, et que l'on autorise son utilisation dans les divers
calculs.
2. Dans le cas contraire, la méthode d'Aitken sera utilisée.
11.2.2 Méthode d'accélération de Richardson
Théorème 11.1 On considère une suite (un)nEN convergente vers un réel l
avec une convergence géométrique de rapport À {O < IAI < 1}. Alors la suite
( Vn)nEN définie par
VnEN,
Un+I -ÀUn
Vn =
1-À
converge vers l plus vite que la suite (un)nElll· Cette méthode d'accélération est
appelée méthode d'accélération de Richardson.