11.l. VITESSE DE CONVERGENCE D'UNE SUITE RÉELLE
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être définie à l'aide d'une récurrence. En effet, considérons la suite (cn)nE définie
par
Vn ~ 1, Cn =cos c;) .
Nous remarquons que cette suite est à valeurs réelles positives et strictement positives à partir du rang 2. Nous avons,
Vn ~ 1, Cn =cos c;) = 2cos 2 (2n11'+1)-1=2c;+l -1.
Ainsi,
Vn~l, Cn+1=~.
D'autre part,
Donc,
Vn ~ 1,
Un
Un+l = - - .
Cn+l
En conclusion,
{ c, ~ 0, U1 = 2,
Vn ~ 1, c
-~
(11.8)
n+l -
2
Vn ~ 1, u
-~
n+l - Cn+l •
On peut ainsi calculer les différentes valeurs de la suite ( un)nEN.
11.1.4 Suites convergentes vers un point fixe attractif
La définition des points fixes attractifs est donnée dans la section 10.4.2, page
139. On considère f une fonction numérique définie sur un intervalle I et une suite
(un)nEN définie par une récurrence de la forme Un+l = f(un) et convergente vers
l, un point fixe attractif de f. On supposera qu'à partir d'un certain rang, Un =f l.
Étudions la vitesse de convergence de cette suite. Nous avons
lim f(t) - l = J'(l).
t-+l
t - l
La suite ( un)nEN étant convergente vers l, nous obtenons
lim Un+l - l = J'(l).
n-++oo Un - l
Le réel l étant un point fixe attractif, nous avons lf'(l)I < 1. Deux cas se présentent:
1. !' ( l) =f o.
La vitesse de convergence de la suite ( un)nEN est géométrique de rapport
!' (l).