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VITESSE ET ACCÉLÉRATION DE CONVERGENCE DE SUITES RÉELLES
11.1.3 Suites convergentes vers 7r
Exercice 11.5
1. On considère la suite (an)nEN• définie par
\:ln~ 1, an= nsin (~).
Montrer que cette suite est convergente vers 7r et déterminer sa vitesse de convergence.
2. On considère la suite (un)nEN définie par
Montrer que cette suite est convergente vers 7r et déterminer sa vitesse de convergence.
Solution.
1. En utilisant le développement limité à l'ordre 3 en 0 de la fonction sinus,
nous obtenons le développement asymptotique suivant de la suite (an)nEN• :
On en déduit que la suite (an)nEN• est convergente vers 7r. De plus,
n2
(n + 1)2 ,....., 1.
La convergence est lente .
•
2. La suite (un)nEN est une suite extraite de la suite (an)nEN· Elle est convergente vers 7r. Elle admet le développement asymptotique suivant :
Ainsi,
7r3
u - 7r,....., - - - et
n
6.22n
1 .
Un+l - 7r
1
lm
= -.
n->+oo Un - 7r
4
La convergence de la suite ( un)nEN est géométrique de rapport i.
Remarque 11.2 La construction de ces suites a pour but l'obtention d'une valeur
approchée du réel 7r. Attention, pour donner la valeur d'un réel an ou d'un réel
un, on doit s'interdire d'utiliser le nombre 7r. Il est donc difficile, voire impossible,
d'exploiter la suite (an)nEN•. Ce qui n'est pas le cas de la suite (un)nEN qui peut