11.1. VITESSE DE CONVERGENCE D'UNE SUITE RÉELLE
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1. Montrer que pour tout entier naturel n, on a
1
1
2
( n + 1) ! < e - Wn < ( n + 1) ! ·
2. En déduire que la convergence de la suite (wn)nEN est rapide.
3. Soit r un réel strictement supérieur à 1. Montrer que la suite (tn)nEN définie
par
VnEN,
est non bornée.
t _ e-wn+l
n - (e -wnr
En déduire que la convergence de la suite (wn)nEN verse ne peut être d'ordre r.
Solution.
1. On note (Rn)nEN la suite des restes :
VnEN,
Il est évident que
+oo 1
e - Wn = Rn = L k!.
k=n+l
VnEN,
+oo 1
n+l 1
1
Rn = L k! > L k! = (n + 1)! ·
k=n+l
k=n+l
D'autre part,
1
+oo 1
1
1
( +oo
1
)
\:/n EN, Rn = (n + 1)! + L k! = (n + 1)! + (n + 1)! L (n + 2) .. · k
k=n+2
k=n+2
< (n ~ 1)! + (n ~ 1)! ( ~ 2k1
n-1) = (n ~ 1)! ( ~ 2k1
n-1) = (n ~ 1)! ·
k=n+2
k=n+l
2. À l'aide des inégalités obtenues dans la question précédente, on a
VnEN,
1
e -Wn+i
2
(
) <
< (
)'
2 n + 2
e - Wn
n + 2
La convergence de la suite ( wn)nEN vers e est rapide.
3. En utilisant les inégalités de la première question, on obtient
\:/n EN*,
e - Wn+l
((n + l)!r
1 nrr+l kr
tn = (e - wnr > 2r(n + 2)! = 2r+i k= 2 k + 1 ·
Ce dernier terme est un produit de réels strictement positifs. De plus,
kr
lim - - = +oo
k-++oo k + 1
nous permet de dire que la suite (tn)nEN tend vers plus l'infini et donc est
non bornée. On en déduit que la convergence de la suite (wn)nEN ne peut
être d'ordre r.