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VITESSE ET ACCÉLÉRATION DE CONVERGENCE DE SUITES RÉELLES
2. Effectuons le développement limité à l'ordre 1 en 0 de la fonction
f : JR+* -
JR+*
1
X
t----t
(l+x)'".
Nous avons
1
1 (
x
2
2 )
X
ln (f(x)) = x ln(l + x) = x x - 2 + o(x ) = 1 - 2 + o(x).
X
X
X
f(x) = exp(lnf(x)) = exp(l- 2 +o(x)) = e.exp(- 2 +o(x)) = e(l- 2 +o(x)).
On obtient
puis,
et
e
U - e r v - -
n
2n
Un+l - e rv _n_ rv 1.
Un-e
n+l
On en déduit que la convergence de la suite ( un)nEN• vers e est lente.
3. La suite ( vn)nEN est une suite extraite de la suite ( Un)nEN*. Elle converge
vers e. En utilisant le développement limité d'ordre 1 en 0 de la fonction f
définie dans la question précédente, on obtient le développement asymptotique suivant :
Ainsi,
e
Vn - e rv - 2n+l'
Vn+i -e 1
- - - r v -
Vn -e
2
On en déduit que la convergence de la suite ( vn)nEN vers e est géométrique
de raison~Exercice 11.4 On considère la suite (wn)nEN convergente verse et définie pour tout
naturel n par
n 1
Wn= Lk!"
k=O
Nous savons que la suite (wn)nEN est convergente verse (exercice 7.3 ou proposition
18.17).