1 VITESSE DE CONVERGENCE D'UNE SUITE RÉELLE
11 ..
2. En utilisant le résultat de la première question, on obtient
D'où,
1T2
s
6 - n+l
n
2
r v - - r v l .
~ -Sn
n+ 1
Ainsi, la convergence de la suite (Sn)nEN• vers ~ 2 est lente.
11.l.2 Suites convergentes vers e
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Dans cette section, nous considérons trois suites réelles ( Un)nEN•, ( Vn)nEN ( exercice 11.3) et (wn)nEN (exercice 11.4) C'.Onvergentes toutes les trois vers le réel e.
Pour chacune de ces suites, la convergence est respectivement, lente, géométrique
de rapport ~ et rapide.
Exercice 11.3 On considère la suite (un)nEN* définie par
l. Montrer que cette suite est convergente et déterminer sa limite.
2. Quelle est la vitesse de convergence de ( un)nEN* ?
3. Même question avec la suite (vn)nEN définie par
Solution.
1. La suite ( un)nEN• est à valeurs strictement positives.
Ainsi,
Vn;:::l, ln(un)=nln(l+~)·
n
ln(un) rv - = 1.
n
La suite (ln un)nEN• est convergente vers 1 et l'application exponentielle
continue en 1. Donc,
lim Un= lim exp (ln( un))= exp(l) = e.
n-++oo
n-++oo