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VITESSE ET ACCÉLÉRATION DE CONVERGENCE DE SUITES RÉELLES
11.1.1 Premiers exemples de vitesse de convergence
Exercice 11.1 Donner les vitesses de convergence des suites de terme général :
1. ~. ~. ~' (k EN*), Fn' 1!n.
2. qn (q E) - 1, 1[).
3. fh.
Solution. De façon évidente, on trouve que la convergence vers 0 est
1. lente,
2. géométrique de rapport q,
3. rapide.
Exercice 11.2 On sait (exercice 21.1) que
+oo 1
71"2
Ln2 = 6·
n=l
On considère (Sn)nEN* la suite des sommes partielles définie par
1. Montrer que
n
1
Sn= L k2"
k=l
Vn 2 1,
1
71" 2
1
Vn >_ 1, - - < - - S < -
n+ 1 - 6
n - n"
2. En déduire la vitesse de convergence de la suite (Sn)nEN* vers ~
2
•
Solution.
1.
Vn 2 1,
2
+oo 1
~ - Sn = Rn = L k 2 •
k=n+l
L'application t 1-+ b étant strictement décroissante sur l'intervalle [1, +oo[,
nous avons
Vk 2 2,
rk+l dt < _..!:.._ < rk dt
Jk t2 - k2 - lk-1 t2.
Les trois séries correspondant aux termes ci-dessus sont convergentes. Ainsi,
à la limite,
1 +oo dt +oo 1 1+oo dt
t2 :::; I: k2 :::;
t2 •
n+l
k=n+l
n
Vn 2 1,
On obtient ainsi le résultat désiré.