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6.
SUITES DÉFINIES PAR UNE RÉCURRENCE
A= A1 UA(-!)
est l'ensemble des réels a appartenant au segment (-1, 1], pour lesquels la
suite ( un)nEN est convergente. A est une partie dénombrable et dense de
(-1, l].
7. Écrivons le réel a à l'aide de son développement dyadique:
où pour tout entier naturel k, ak appartient à {O; 1}. Remarquons que
Vn E N*, Un = cos(2n?ra) =cos ( 7r (~ ak.2n-k) + 7r (~ 2 :~n))
= COS (' Ir f 2 :~n) = COS (' Ir f a~kn) ·
k=n
k=O
Si le réel a est rationnel, son développement dyadique est périodique à partir
d'un certain rang, c'est-à-dire
3p E N*, 3no E N, Vn 2: no, an+p = an.
Ainsi,