10.4. SUITES RÉELLES RÉCURRENTES D'ORDRE 1
145
L'ensemble V(o,i1 est dénombrable puisqu'il est inclus dans l'ensemble des
nombres rationnels. L'ensemble Ai est donc dénombrable. Montrons que Ai
est dense dans [-1, l]. Soit a un élément de ce segment. Considérons le réel
a élément de [O, 1] vérifiant a = cos(œrr). Le réel a est limite d'une suite
de nombres dyadiques (an)nE!ll à valeurs dans V(O,il· L'application cosinus
étant continue en a, la suite (cos(an))nElll est convergente et
lim cos(an) = cos(a) =a.
n-++oo
Ai est dense dans le segment [-1, 1].
5. Le réel (-!) est un point fixe répulsif de l'application f car!'(-!) = -2.
Si la suite (un)nElll est convergente vers (-!),elle est stationnaire. Il existe
alors un entier naturel n vérifiant
1
cos(2nmr) = - 2 .
La suite ( un)nElll est convergente vers ( -! ) si et seulement si le réel a vérifie
l'une des deux propositions (10.6) ou (10.7) :
3(n,p) E N 2 , 2 n
2
a= 3 +2p,
(10.6)
3(n,p) E N 2 ,
n
4
2 a= 3 +2p.
(10.7)
En remarquant que
(10.6):::? (10.7),
la suite (un)nElll est convergente vers (-!) si et seulement si le réel a vérifie
la proposition (10. 7) :
2
p
3(n,p) E N 2 , a= - - i + - - i ·
2nNotons Vfo.ii• l'ensemble des nombres réels appartenant au segment [O, 1] et
vérifiant la proposition (10.7). On obtient
A(-!)= {cos(mr)/a E V[o,i1}·
L'ensemble V[o,ii est dénombrable puisqu'il est inclus dans l'ensemble des
nombres rationnels. L'ensemble A(-!) est donc dénombrable. Montrons que
A(-!) est dense dans [-1, 1]. Soit a un élément de ce segment. Considérons
le réel a élément de [O, 1] vérifiant a= cos(a7r). On considère (an)nE111 la suite
des approximations dyadiques par défaut de a. La suite (.Bn)nE!ll* définie par
Vn EN*,
2
.Bn = 3.2n-i + Ün-i
est également convergente vers a. L'application cosinus étant continue en a,
la suite ( cos(,6n) )nElll* est convergente et
lim cos(.Bn) = cos(a) =a.
n-++oo
Cette dernière suite est à valeurs dans V[o,i] · L'ensemble A(-!) est dense
dans le segment [-1, 1].