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SUITES DÉFINIES PAR UNE RÉCURRENCE
7. Montrer que, si a est rationnel, alors la suite (un)nEl'il est périodique à partir
d'un certain rang, c'est-à-dire
3p E N*, 3no E N, 't:/n ~ no, Un+p = Un.
Solution.
1. (a) Il suffit de résoudre dans (-1, 1], l'équation f(x) = x. On obtient le
résultat désiré.
(b) Si la suite (un)nEJ\I, à valeurs dans le segment (-1, 1] est convergente,
sa limite l appartient à ce segment, partie fermée de R L'application
f étant continue sur son ensemble de définition et en particulier en l,
celui-ci est un point fixe de f. Les seules limites sont donc 1 et (-~).
2. L'application
g: (0,1] ~ [-1,1]
x
t--t
cos(7rx),
réalise une bijection strictement décroissante de (0, 1] sur (-1, l]. On en
déduit qu'il existe un unique réel a appartenant au segment (0, 1] vérifiant
a= cos(a7r).
3. Effectuons une preuve par récurrence. Considérons pour tout entier naturel
n, la proposition
P 11
( 2n
)"
n: Un=COS
Œ11".
Nous avons Po.
Soit n un entier naturel. Montrons que
Un+i = f(un) = 2.cos 2 (2na7r) -1 = cos(2.2na7r) = cos(2n+la7r).
On en déduit que
't:/n EN, Un = cos(2na7r).
4. Le réel 1 est un point fixe répulsif de l'application f car f'(l) = 4. Si la suite
(un)nEl'il est convergente vers 1, elle est stationnaire. Il existe alors un entier
naturel n vérifiant
cos(2na7r) = 1.
On en déduit que la suite ( un)nElll est convergente vers 1 si et seulement si
il existe deux entiers naturels n et p vérifiant
p
a= 2n-l'
c'est-à-dire si et seulement si a est un nombre dyadique. Notons V(o,l]• l'ensemble des nombres dyadiques appartenant au segment [O, 1]. On obtient
A1 = {cos(a7r)/a E V[o,11}·