10.4. SUITES RÉELLES RÉCURRENTES D'ORDRE 1
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point fixe que l'on notera a. La limite de la suite (un)nEN est donc ce point
fixe a. L'application f est dérivable sur JR+* avec,
Or,
J'(a) = -e-°'(~ + l) =-(a+ 1).
a
Le réel a étant strictement positif, on a lf'(a)I > 1. Il est point fixe répulsif
de f. L'application f étant injective, nous savons, d'après la proposition 10.7,
que la suite ( un)nEN est constante.
En conclusion, la suite ( un)nEN est convergente si et seulement si uo = a.
Exercice 10.6 On considère l'application f définie par
f: [-1, 1] ~ [-1, 1]
X
1----t
2x 2 - 1.
Le but de cet exercice est l'étude, suivant les valeurs du réel a appartenant au segment
[-1, 1]. du comportement asymptotique de la suite définie par
{
uo =a,
'Vn EN, Un+i = f(un)·
1. (a) Vérifier que l'application f admet exactement deux points fixes: 1 et-~.
{b) En déduire que, si la suite (un)nEN est convergente, sa limite est l'une de
ces deux valeurs.
2. Montrer qu'il existe un unique réel a appartenant au segment [O, 1] vérifiant
a= cos(mr).
3. Pour tout entier naturel n, écrire le réel Un en fonction den, a et de l'application
cosinus.
4. Déterminer l'ensemble A1 des réels a appartenant au segment [-1, 1]. pour
lesquels la suite ( un)nEN est convergente vers 1. Montrer que A1 est une partie
dénombrable dense du segment [-1, 1].
5. Déterminer l'ensemble A(-!) des réels a appartenant au segment [-1, 1]. pour
lesquels la suite (un)nEN est convergente vers-~. Montrer que A(-!) est une
partie dénombrable dense du segment [-1, 1].
6. En déduire l'ensemble A des réels a appartenant au segment [-1, 1] tels que la
suite (un)nEN soit convergente.