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SUITES DÉFINIES PAR UNE RÉCURRENCE
Solution.
1. Évident.
2. On vérifie simplement que
VnEN,
Cette suite est convergente vers 0 qui n'est pas point fixe.
Exercice 10.5 On considère l'application f définie sur JR+* par
X
Soit a un réel strictement positif. On considère la suite (un)nEN définie par
{
uo =a,
Vn EN, Un+l = f(un)·
Étudier, suivant la valeur de a, la nature de la suite (un)nEN·
Solution. Supposons la suite ( un)nEN convergente. Celle-ci étant à valeurs dans
JR+*, sa limite appartient à JR+, l'adhérence de JR+*.
1. Nous avons
lim f(x) = +oo.
x-+O+
La suite ( Un)nEN ne peut converger vers O. En effet, on aurait
lim Un+l = lim f(un) = +oo.
n-++oo
n-++oo
Ceci est impossible.
2. La limite de la suite ( un)nEN appartient à JR+*. La fonction f étant continue
sur JR+*, cette limite est un point fixe de f.
3. Étude des points fixes de l'application f.
Un réel est point fixe de f si et seulement si il est un zéro de l'application
g : JR+* ----t JR+*
x
~ x 2 -e-"'.
Après une étude rapide, on remarque que g réalise une bijection strictement
croissante de JR+* sur l'intervalle ]-1; +oo[. L'application fa donc un unique