10.4. SUITES RÉELLES RÉCURRENTES D'ORDRE 1
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10.4.3 Exercices
Exercice 10.3 Soit a un réel. Étudier la nature et le comportement de la suite définie
par
{
uo =a,
VnEN, Un+i = cos(un)·
Solution. Remarquons que
cos(~) = [-1; 1] et cos([-1; 1]) C [O, 1].
Le réel u2 appartient au segment [O; l]. Il suffit donc d'étudier la restriction de la
fonction cosinus au segment [O; 1] :
cos : [O; 1] ----+ [O; 1]
X
t----t
COS X.
Nous avons
Vx E [O; 1], 1cos'(x)I=1 sin xi :::; sin 1 < 1.
La fonction cosinus est ainsi contractante sur l'espace complet [O; 1]. La fonction
cosinus admet un unique point fixe a sur ce segment et la suite ( un)nEN converge
vers ce point fixe. La fonction cosinus étant décroissante sur le segment [O; 1], les
suites (u2n)nEN et (u2n+1)nEN sont adjacentes et convergent vers a. On a ainsi un
majorant de l'erreur avec:
Exercice 10.4 On considère la fonction f définie sur l'intervalle ~+*, à valeurs dans
ce même intervalle, par
f : ~+* ----+ ~+*
x
t----t
~+sin 2 (~)
1. Vérifier que f est continue sur ~+*.
2. Montrer que la suite définie par
{
Uo = 1,
Un+l = f(un)·
est convergente vers un réel qui n'est pas un point fixe de f.