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SUITES DÉFINIES PAR UNE RÉCURRENCE
Points fixes répulsifs
Proposition 10. 7 Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle
0
I à valeurs dans I et l un point fixe de f appartenant à I. Si f est dérivable
en l avec lf'(l)I > 1, on dit quel est un point fixe répulsif. Si une suite de la
forme
{
Uo E J,
VnEN,
est convergente vers ce point fixe répulsif l, alors elle est stationnaire. Si, de
plus, l'application f est injective alors elle est constante.
Preuve. On considère une application f définie sur un intervalle I à valeurs dans
0
I, l(E I) un point fixe répulsif de f, c'est-à-dire f(l) =let lf'(l)I > 1. On a
lim 1 f(t) - l, = lf'(l)I.
t-+l
t - l
Soit r un réel appartenant à l'intervalle ]1, lf'(l)I[. Il existe un réel strictement
positif a tel que
]l - a, l + a[c I,
et
Vt E]l - a,l + a[\{l}, 1f;t~~l'2 r.
Donc,
Vt E]l - a, l +a[, lf(t) - li 2 r lt - li.
On suppose la suite (un)nEN convergente vers l. Il exite un entier naturel n0
vérifiant
\:/n 2 no, lun - li < a.
En conséquence,
\:/n 2 no, lun+l - li = lf(un) - f(l)I 2 rlun - li.
Par une récurrence évidente, on obtient
\:/n 2 no, lun - li 2 rn-nolun 0 - li.
Le réel r étant strictement supérieur à 1, la suite (un)nEN ne peut être convergente
vers l que si
lun0 - li= O.
Ainsi,
\:/n 2 no, Un = l.
La suite ( un)nEN est stationnaire.
Si l'application f est injective, alors l'application r 0 est également injective. De
r 0 (uo) = Un0 = l = r 0 (l),
on déduit que uo = l.