4 SUITES RÉELLES RÉCURRENTES D'ORDRE 1
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Remarque 10.3 Attention! Si l'intervalle I n'est pas fermé, la limite l n'appartient pas toujours à celui-ci. Dans ce cas, l ne peut être point fixe. On pourra pour
cela étudier l'exercice 10.4.
10.4.2 Points fixes attractifs, points fixes répulsifs
Points fixes attractifs
Proposition 10.6 Soient f une fonction numérique définie sur un intervalle
0
Jet l un point fixe de f appartenant à I. Si f est dérivable en l avec lf'(l)I < 1,
on dit que l est un point fixe attractif. Il existe alors un réel a strictement positif
tel que :
Toute suite ( Un)nEJ\I de la forme
{
uo E]l - a, l +a[,
Vn EN,
Un+l = f(un)·
est définie et converge vers l.
0
Preuve. On considère une application f définie sur un intervalle I, l E I un point
fixe attractif de f, c'est-à-dire f(l) =let lf'(l)I < 1. On a
lim 1 f(t) - l, = lf'(l)I.
t-+l
t - l
Soit r un réel appartenant à l'intervalle Jlf'(l)I, l[. Il existe un réel strictement
positif a tel que
]l - a, l + a[c I,
et
Vt E]l - a,l + a[\{l}, 1 f~t~ ~ l' :' .S; r.
L'intervalle ]l - a, l +a[ est stable par l'application f car
Vt E]l - a, l +a[, 0 :' .S; lf(t) - li :' .S; r lt - li Toute suite de la forme
{
uo E]l - a, l +a[,
Vn EN,
Un+i = f(un)·
est donc bien définie. D'autre part,
Vn EN, lun+l - li = lf(un) - f(l)I :' .S; rlun - li.
Par une récurrence évidente, on obtient
Vn EN, lun - li :' .S; rnluo - li.
On en déduit que la suite (un)nEJ\I est convergente vers l.