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SUITES DÉFINIES PAR UNE RÉCURRENCE
10.4 Suites réelles récurrentes d'ordre 1
10.4.1 Propriétés
Dans cette section, I représente un intervalle réel, f une application définie sur
I à valeurs dans I et ( un)nel\I une suite définie par
{
Uo E J,
\:/n EN, Un+l = f(un),
Voici deux propositions permettant de donner des précisions sur le comportement
et la convergence éventuelle de la suite (un)nEN·
Proposition 10.4
1. Si l'application f est croissante sur I, alors la suite
( un)nel\I est monotone.
2. Si l'application f est décroissante sur I, alors les suites (u2n)nel\I
et(u2n+i)neN sont monotones de sens de variation opposé.
Preuve.
1. Si l'application f est croissante, alors pour tout entier positif n, le signe du
réel (un+2 - Un+i), c'est-à-dire f(un+i) - f(un), est celui de (un+l - Un)·
La suite (un+l - Un)nEN est donc de signe constant.
- Si U1 > uo, alors (un)nEN est croissante,
- Si U1 < uo, alors (un)nEN est décroissante.
On peut remarquer que, s'il existe un entier naturel p tel que up+l = up,
alors up est point fixe de l'application f et la suite (un)nEN est stationnaire.
2. Si l'application f est décroissante, alors l'application f o f est croissante.
On en déduit que les suites (u2n)nel\I et(u2n+i)nEN sont monotones. D'autre
part, l'application f étant décroissante, les signes de (u3 -u1 ) et de (u2 -u0 )
sont opposés. Les suites (u2n)nel\I et(u2n+i)nEN sont donc monotones de sens
de variation opposé.
Proposition 10.5 Si la suite (un)(nEN) est convergente vers un réel l appartenant à I et si f est continue en ce point, alors il est point fixe pour l'application f.
Preuve. L'application f étant continue en let la suite (un)neN étant convergente
vers l, la suite (f(un))neN est convergente vers f(l) (proposition 3.7, page 37). Or,
\:/n EN, f(un) = Un+l·
On en déduit que la suite (f(un))nEN converge vers let que celui-ci est un point
~.